Resolução de Problemas com Sistemas de Equações - 2º E.M

Exemplo 1 

A população de uma cidade A é três vezes maior que a população da cidade B. Somando a população das duas cidades temos o total de 200.000 habitantes. Qual a população da cidade A? 

Indicaremos a população das cidades por uma incógnita (letra que representará um valor desconhecido). 

Cidade A = x 
Cidade B = y 

x = 3y 
x + y = 200 000 

Substituindo x = 3y 

x + y = 200 000 
3y + y = 200 000 
4y = 200 000 
y = 200 000/4 
y = 50 000 
x = 3y , substituindo y = 50 000 

Temos 
x = 3 * 50 000 
x = 150 000 

População da cidade A = 150 000 habitantes 
População da cidade B = 50 000 habitantes 

Exemplo 2

Cláudio usou apenas notas de R$ 20,00 e de R$ 5,00 para fazer um pagamento de R$ 140,00. Quantas notas de cada tipo ele usou, sabendo que no total foram 10 notas? 

x notas de 20 reais y notas de 5 reais 

Equação do número de notas: x + y = 10 
Equação da quantidade e valor das notas: 20x + 5y = 140 

x + y = 10 
20x + 5y = 140 

Aplicar método da substituição 

Isolando x na 1ª equação 
x + y = 10 
x = 10 - y 

Substituindo o valor de x na 2ª equação
20x + 5y = 140
20(10 – y) + 5y = 140
200 – 20y + 5y = 140
- 15y = 140 – 200
- 15y = - 60 (multiplicar por -1)
15y = 60
y = 60/15
y = 4

Substituindo y = 4
x = 10 – 4
x = 6

Exemplo 3

Num aquário há 8 peixes, entre pequenos e grandes. Se os pequenos fossem mais um, seria o dobro dos grandes. Quantos são os pequenos? E os grandes? 

Pequenos: x 
Grandes: y 

x + y = 8 
x + 1 = 2y 

Isolando x na 1ª equação 

x + y = 8 
x = 8 - y 

Substituindo o valor de x na 2ª equação 
x + 1 = 2y 
(8 – y) + 1 = 2y 
8 – y + 1 = 2y 
9 = 2y + y 
9 = 3y 
3y = 9 
y = 9/3 
y = 3 

Substituindo y = 3 
x = 8 – 3 
x = 5 

Peixes pequenos: 5 
Peixes grandes: 3 

Exemplo 4

Descubra quais são os dois números em que o dobro do maior somado com o triplo do menor dá 16, e o maior deles somado com quíntuplo do menor dá 1. 

Maior: x 
Menor: y 

2x + 3y = 16 
x + 5y = 1 

Isolando x na 2ª equação 
x + 5y = 1 
x = 1 – 5y 

Substituindo o valor de x na 1ª equação 
2(1 – 5y) + 3y = 16 
2 – 10y + 3y = 16 
- 7y = 16 – 2 
- 7y = 14 (multiplica por -1) 
7y = - 14 
y = -14/7 
y = - 2

Substituindo y = - 2
x = 1 – 5 (-2)
x = 1 + 10
x = 11

Os números são 11 e -2.