Matrizes

Matrizes

Matrizes são objetos matemáticos organizados em linhas e colunas.
Cada um dos seus elementos tem dois índices (a_{i j}). O primeiro índice i indica à linha e o segundo índice j a coluna.  O número de linhas e colunas que uma matriz tem chama  dimensão da matriz. A matriz ao lado tem m linhas e n colunas e dizemos que ela tem dimensão   m x n (m por n) e a representamos por A = (a_{i j}) _{m x n}.    Quando o número de linhas é igual ao número de colunas  dizemos que a matriz é de ordem n  e a chamamos de matriz quadrada. 

Introdução

   O crescente uso dos computadores tem feito com que a teoria das matrizes seja cada vez mais aplicada em áreas como Economia, Engenharia, Matemática, Física, dentre outras. Vejamos um exemplo.

   A tabela a seguir representa as notas de três alunos em uma etapa:

	Química	Inglês	Literatura	Espanhol
A	8	7	9	8
B	6	6	7	6
C	4	8	5	9

   Se quisermos saber a nota do aluno B em Literatura, basta procurar o número que fica na segunda linha e na terceira coluna da tabela.

   Vamos agora considerar uma tabela de números  dispostos em linhas e colunas, como no exemplo acima, mas colocados entre parênteses ou colchetes:

    Em tabelas assim dispostas, os números são os elementos. As linhas são enumeradas de cima para baixo e as colunas, da esquerda para direita:

   Tabelas com m linhas e n colunas ( m e n números naturais diferentes de 0) são denominadas matrizes m x n. Na tabela anterior temos, portanto, uma matriz 3 x 3.

   Veja mais alguns exemplos:

• é uma matriz do tipo 2 x 3
• é uma matriz do tipo 2 x 2

Notação geral

   Costuma-se representar as matrizes por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas por dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa.

   Assim, uma matriz A do tipo m x n é representada por:

ou, abreviadamente, A = [a_ij]_{m x n}, em que i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa. Por exemplo, na matriz anterior, a₂₃ é o elemento da 2ª linha e da 3ª coluna.

   Na matriz , temos:

   Ou na matriz B = [ -1 0 2 5 ], temos: a₁₁ = -1, a₁₂ = 0, a₁₃ = 2 e a₁₄ = 5.

Denominações especiais

   Algumas matrizes, por suas características, recebem denominações especiais.

• Matriz linha: matriz do tipo 1 x n, ou seja, com uma única linha. Por exemplo, a matriz A =[4 7 -3 1], do tipo 1 x 4.
     
• Matriz coluna: matriz do tipo m x 1, ou seja, com uma única coluna. Por exemplo,, do tipo 3 x 1
     
• Matriz quadrada: matriz do tipo n x n, ou seja, com o mesmo número de linhas e colunas; dizemos que a matriz é de ordem n. Por exemplo, a matriz  é do tipo 2 x 2, isto é, quadrada de ordem 2.

   Numa matriz quadrada definimos a diagonal principal e a diagonal secundária. A principal é formada pelos elementos a_ij tais que i = j. Na secundária, temos i + j = n + 1.

    Veja:

Observe a matriz a seguir:

a₁₁ = -1 é elemento da diagonal principal, pis i = j = 1

a₃₁= 5 é elemento da diagonal secundária, pois i + j = n + 1 ( 3  + 1 = 3 + 1)

• Matriz nula: matriz em que todos os elementos são nulos; é representada por 0_{m x n.}

Por exemplo, .
   

• Matriz diagonal: matriz quadrada em que todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos. Por exemplo:

• Matriz identidade: matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais são nulos; é representada por I_n, sendo n a ordem da matriz. Por exemplo:

Assim, para uma matriz identidade .
   

• Matriz transposta: matriz A^t  obtida a partir da matriz A trocando-se ordenadamente as linhas por colunas ou as colunas por linhas. Por exemplo:

    Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, A^t é do tipo n x m.

   Note que a 1ª linha de A corresponde à 1ª coluna de A^t e a 2ª linha de A corresponde à 2ª coluna de A^t.

• Matriz simétrica: matriz quadrada de ordem n tal que A = A^t . Por exemplo,

 é simétrica, pois a₁₂ = a₂₁ = 5, a₁₃ = a₃₁ = 6, a₂₃ = a₃₂ = 4, ou seja, temos sempre       a _ij = a _ij.
   

• Matriz oposta: matriz -A obtida a partir de A trocando-se o sinal de todos os elementos de A. Por exemplo, .

Igualdade de matrizes

   Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, e somente se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são iguais:

.

Operações envolvendo matrizes

Adição

   Dadas as matrizes , chamamos de soma dessas matrizes a matriz , tal que C_ij = a_ij + b_ij , para todo :

A + B = C

Exemplos:

• 
     
• 

Observação: A + B existe se, e somente se, A e B forem do mesmo tipo.

Propriedades

   Sendo A, B e C matrizes do mesmo tipo ( m x n), temos as seguintes propriedades para a adição:

a) comutativa: A + B = B + A

b) associativa: ( A + B) + C = A + ( B + C)

c) elemento neutro: A + 0 = 0 + A = A, sendo 0 a matriz nula m x n

d) elemento oposto: A + ( - A) = (-A) + A = 0

Subtração

   Dadas as matrizes , chamamos de diferença entre essas matrizes a soma de A com a matriz oposta de B:

A - B = A + ( - B )

Observe:

  

Multiplicação de um número real por uma matriz

   Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n, o produto de x por A é uma matriz B do tipo m x n obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x, ou seja, b_ij = xa_ij:

B = x.A

    Observe o seguinte exemplo:

Propriedades

   Sendo A e B matrizes do mesmo tipo ( m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:

a) associativa: x . (yA) = (xy) . A

b) distributiva de um número real em relação à adição de matrizes: x . (A + B) = xA + xB

c) distributiva de uma matriz em relação à adição de dois números reais: (x + y) . A = xA + yA

d) elemento neutro : xA = A, para x=1, ou seja, A=A

Matrizes Multiplicação de matrizes    O produto de uma matriz por outra não é determinado por meio do produto dos sus respectivos elementos.    Assim, o produto das matrizes A = ( aij) m x p  e B = ( bij) p x n é a matriz C = (cij) m x n em que cada elemento cij é obtido por meio da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna B.    Vamos multiplicar a matriz  para entender como se obtém cada Cij: 1ª linha e 1ª coluna     1ª linha e 2ª coluna     2ª linha e 1ª coluna     2ª linha e 2ª coluna        Assim, .    Observe que:    Portanto, .A, ou seja, para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa.    Vejamos outro exemplo com as matrizes :         Da definição, temos que a matriz produto A . B só existe se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B:      A matriz produto terá o número de linhas de A (m) e o número de colunas de B(n): Se A3 x 2 e B 2 x 5 , então ( A . B ) 3 x 5 Se A 4 x 1 e B 2 x 3, então não existe o produto Se A 4 x 2 e B 2 x 1, então ( A . B ) 4 x 1 ►adição de matrizes As matrizes envolvidas na adição devem ser da mesma ordem. E o resultado dessa soma será também outra matriz com a mesma ordem.  Assim podemos concluir que:  Se somarmos a matriz A com a matriz B de mesma ordem, A + B = C, teremos como resultado outra matriz C de mesma ordem e para formar os elementos de C somaremos os elementos correspondentes de A e B, assim: a11 + b11 = c11.  Exemplos:  Dada a matriz A= 3 x 3 e matriz B= 3 x 3, se somarmos a A + B, teremos:  + = 3 x 3  Observe os elementos em destaques:  a13 = - 1 e b13 = - 5 ao somarmos esses elementos chegaremos a um terceiro que é o  c13 = -6. Pois -1 + (-5) = -1 – 5 = - 6  O mesmo ocorre com os outros elementos, para chegarmos ao elemento c32, tivemos que somar a32 + b32.  Pois, 3 + (-5) = 3 – 5 = - 2  Assim: A + B = C, onde C tem a mesma ordem de A e B.  ►Subtração  As duas matrizes envolvidas na subtração devem ser da mesma ordem. E a diferença delas deverá dar como resposta outra matriz, mas de mesma ordem.  Assim temos:  Se subtrairmos a matriz A da matriz B de mesma ordem, A – B = C, obteremos outra matriz C de mesma ordem. E para formarmos os elementos de C, subtrairemos os elementos de A com os elementos correspondentes de B, assim:a21 – b21 = c21.  Exemplos:  Dada a matriz A = 3 x 3 e B = 3 x 3, se subtrairmos A – B, teremos:  - = 3 x 3  Observe os elementos destacados:  Quando subtraímos a13 – b13 = c13, -1 – (-5) = -1 + 5 = 4  Quando subtraímos a31 – b31 = c31, - 4 – (-1) = -4 + 1 = -3  Assim A – B = C, onde C é uma matriz de mesma ordem de A e B. Equações de matriciais Exemplo 1 Encontre a matriz X, que satisfaça a seguinte igualdade X-A=B, onde Antes de darmos início ao uso das matrizes, utilizaremos a igualdade dada para isolarmos a nossa incógnita X. Sendo assim, substituiremos as matrizes que conhecemos nesta equação a fim de encontrarmos a matriz X. Exemplo 2 Se é possível resolvermos equações matriciais, por que não sistemas de equações matriciais? Vejamos um exemplo: Determine as matrizes X e Y, que satisfaça o sistema a seguir. Primeiramente devemos encontrar as relações de X e Y, através do sistema dado, para daí então iniciarmos o cálculo de cada matriz.     Sendo assim, temos duas relações para as matrizes solução. Encontrando a matriz Y: Encontrando a matriz X:     Propriedades    Verificadas as condições de existência para a multiplicação de matrizes, valem as seguintes propriedades: a) associativa: ( A . B) . C = A . ( B . C ) b) distributiva em relação à adição: A . ( B + C ) = A . B + A . C ou ( A + B ) . C = A . C + B . C c) elemento neutro: A . In = In . A = A, sendo In a matriz identidade de ordem n    Vimos que a propriedade comutativa, geralmente, não vale para a multiplicação de matrizes. Não vale também o anulamento do produto, ou seja: sendo 0 m x n uma matriz nula, A .B =0 m x n não implica, necessariamente, que A = 0 m x n ou B = 0 m x n. Matriz inversa    Dada uma matriz A, quadrada, de ordem n, se existir uma matriz A', de mesma ordem, tal que A . A' = A' . A = In , então A' é matriz inversa de A . representamos a matriz inversa por A-1 .   Aplicações de matrizes  As matrizes são muito utilizadas na computação para representarmos translação, rotação, escala de objetos em computação gráfica, para se resolver sistemas de equações, etc.Na engenharia elétrica, é muito difícil resolver problemas de circuitos elétricos e linhas de transmissão de energia elétrica sem matrizes. Trabalhar com uma malha de linha de transmissão e passar esse circuito para forma matricial, mais fácil. Na mecânica também é muito importante, pois os tensores (grandeza) só são fornecidos em forma de matriz.Os determinantes simplificam e sistematizam a resolução de sistemas de equações lineares. Matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas (ou seja, é do tipo mxn). A toda matriz quadrada está associado um número ao qual damos o nome de determinante. Dentre as várias aplicações dos determinantes na Matemática, temos: -resolução de alguns tipos de sistemas de equações lineares; -cálculo da área de um triângulo situado no plano cartesiano, quando são conhecidas as coordenadas dos seus vértices.